OMC239(D)

点数: 400

Writer: natu_math

　実数 $x_1,x_2,...,x_8$ はその総和が $1$ であり，任意の $1$ 以上 $7$ 以下の整数 $i$ について，$x_1+x_2+\cdots +x_i\gt0$ を満たします．ここで，$S,T$ を次のように定めます． $$S=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_1+x_2}+\cdots+\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_7}+\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_8}$$ $$T=\frac{x_2}{\sqrt{x_1}}+\frac{x_3}{\sqrt{x_1+x_2}}+\cdots+\frac{x_8}{\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_7}}+\frac{x_1}{\sqrt{x_1+x_2+\cdots+x_8}}$$ $S+T-1$ の取り得る最小値を $m$ とすると，$m^N$ が有理数となるような正の整数 $N$ が存在します．このような $N$ の最小値を $n$ とするとき，$m^n$ を既約分数で表すと分母は $2$ で $a$ 回，分子は $3$ で $b$ 回割り切れます．$a+b$ を解答してください．