OMCE009(F)

点数: 800

Writer: tori9

　三角形 $ABC$ の外接円を $\Gamma$ とし，$\Gamma$ の $A$ を含まない方の弧 $BC$ 上に点 $D$ をとります．辺 $AB$, $AC$ 上にそれぞれ点 $P$, $Q$ をとると，三角形 $APQ$ の外接円 $\gamma$ の $P,Q$ における接線は $\Gamma$ 上で交わり，さらに次が成り立ちました． $$AP=CD,\quad AQ=BD,\quad BC=12,\quad PQ=8,\quad AD=13$$ $\Gamma$ と $\gamma$ の $A$ でない方の交点を $R$ とするとき，線分 $DR$ の長さの $2$ 乗は互いに素な正整数 $a,b$ によって $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．