OMC219(E)

点数: 500

Writer: bzuL

　$(p,q,r)$ を $128$ 以下の非負整数の組とし，以下を満たす非負整数の組 $(a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7)$ を美しい数列と呼びます．
$$\begin{aligned} a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7 &= 128, \\ a_1+a_3+a_5+a_7 &= p, \\ a_2+a_3+a_6+a_7 &= q, \\ a_4+a_5+a_6+a_7 &= r \\ \end{aligned}$$ また，美しい数列に対する美しさ を以下の値で定めます．
$$\prod_{k=0}^{7} \frac{1}{a_k!}$$ $(p,q,r)$ を固定したときに，すべての美しい数列に対する美しさの総和を $f(p,q,r)$ と定義します．
　$128$ 以下の非負整数の組 $(p,q,r)$ すべてに対する $f(p,q,r)$ の総積は，互いに素な正整数 $x,y$ を用いて $\dfrac{x}{y}$ と表すことができるので，$xy$ が $2$ で割り切れる最大の回数を求めてください．