OMC191(E)

点数: 400

Writer: Ungifted

　上下に $2$ マス，左右に $10$ マス並んだ計 $20$ 個のマスがあり，隣り合うマスが共有する $28$ 本の全ての辺について"開"または"閉"のどちらかの状態が与えられています．
　いま、一番左下のマスに $A$ 君がおり，次の手順を繰り返して移動していきます．

• $A$ 君がいるマスの辺の中で"開"状態の辺を共有する隣のマスを一つ選び，そこに移動する．
• $A$ 君が $1$ マス移動するごとに全ての辺の"開"状態と"閉"状態が入れ替わる．

　この手順をうまく繰り返し，$A$ 君が一番左下のマスから一番右上のマスを通って一番左下のマスに戻ることが出来れば成功，どのように手順を繰り返しても $A$ 君が一番左下のマスから一番右上のマスを通って一番左下のマスに戻ることができない場合は失敗となります．
　この時，$A$ 君が成功するような"開"・"閉"の初期状態としてあり得るパターンは何組あるか求めてください．なお，$A$ 君は同じマスを何度通っても良く，通らないマスがあっても良いものとします．