OMC180(F)

点数: 800

Writer: pomodor_ap

　鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とします．$A, B, C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D, E, F$ とし，直線 $AD$ と直線 $EF$ の交点を $G$ とします．三角形 $EGH$ の外接円と三角形 $BCH$ の外接円は $H$ でない点 $P$ で交わり，半直線 $HP$ と三角形 $ABC$ の外接円は $X$ で交わりました．さらに， $$PX=4,\quad PD=5,\quad \angle APH=\angle ADP$$ が成立するとき，線分 $AP$ の長さの二乗は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．