OMC146(E)

点数: 700

Writer: gnu_0624

　$AB\neq AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ において，$A$, $B$, $C$ から対辺におろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とし，三角形 $ABC$ の外接円と直線 $EF$ の $2$ つの交点を $X$, $Y$ とします（ただし，$X$, $E$, $F$, $Y$ の順で並ぶものとします）．直線 $DE$, $DF$, $DA$ と三角形 $DXY$ の外接円の交点のうち， $D$ でない方をそれぞれ $P$, $Q$, $R$ とすると， $$AP=26,\quad AQ=34,\quad AR=19$$ が成り立ちました．このとき，線分 $EF$ の長さは正整数 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ を用いて $$\displaystyle \frac{a\sqrt{b} + c\sqrt{d}}{e}$$ と表せます．ただし $b$, $d$ は平方因子をもたず，$e$ は素数です．$a+b+c+d+e$ を解答してください．