OMC094(F)

点数: 700

Writer: Lewandowski

　$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし, 外接円を $\Gamma$ とします. 直線 $BH$ と $AC$ の交点を $D$, 直線 $CH$ と $AB$ の交点を $E$ とします. $B,C$ における $Γ$ の接線の交点を $P$ とします. $$DE=10,\quad BP=16,\quad PH=4\sqrt{19}$$ が成立するとき, $BH$ の長さの二乗を求めてください. ただし, 求める値は平方因子を持たない正の整数 $c$ と正の整数 $a,b$ を用いて $a-b\sqrt{c}$ と表せるので, $a+b+c$ を解答してください.