OMC081(C)

点数: 500

Writer: HighSpeed

　南北一列に $15$ 個の碁石が並んでいます．それぞれの碁石は白色または黒色であり，すべて黒色ではありません．
　$2$ 人のプレイヤーがこれらを用いてゲームを行います．先攻から始めて，以下の操作を交互に行います：

• 操作：$0$ 個以上の黒い碁石と $1$ 個の白の碁石が，北から順に連続して「黒黒$\ldots$黒白」のように置かれている箇所を一つ選び，そこに含まれる碁石の色をすべて入れ替える．

　例えば，$4$ 個の碁石が北から順に「白黒黒白」と並んでいるとき，一度の操作によって「黒黒黒白」「白黒黒黒」「白黒白黒」「白白白黒」のいずれかに変化します．先にすべての碁石を黒色にした人が負けとなります．
　はじめの碁石の配置は $2^{15}-1=32767$ 通りありますが，両者が自身の勝ちを目指して最適に行動し続けると仮定したとき，有限回で決着が付き，かつ先攻が勝つ配置はこのうちいくつありますか？