NF杯2024(Q)

点数: 400

Writer: Lim_Rim_

　各項が $1$ 以上 $3$ 以下の整数列 $X=(x_1,x_2,\dots, x_{10})$ と，各項が $4$ 以上 $6$ 以下の整数列 $Y=(y_1,y_2,\dots, y_{10})$ の組 $(X,Y)$ であって， $$x_{1}^{y_1} + y_1^{x_2} + x_2^{y_2} + y_2^{x_3} + \dots + x_9^{y_9} +y_{9}^{x_{10}} + x_{10}^{y_{10}} + y_{10}^{x_{1}}$$ が $3$ の倍数となるようなものの個数を解答してください．