OMCE008(E)

点数: 500

Writer: Shota_1110

　$1$ 以上 $1110$ 以下の整数全体からなる集合を $I$ と表します．関数 $f \colon I \to I$ であって以下 $4$ つの条件をすべてみたすものは全部でいくつありますか？

• 条件 1.　$f(1), f(2), ..., f(1110)$ はどの $2$ つも相異なる．
• 条件 2.　$f^{2}(n) = n$ なる $n \in I$ は存在しない．
• 条件 3.　$f(n) \lt n$ なる $n \in I$ がちょうど $3$ 個存在する．さらに，それらを $n_1, n_2, n_3$ としたとき，各 $i \in \{1, 2, 3\}$ に対し $f^{k}(n_i) = n_i$ なる最小の正整数 $k$ を $k_i$ と定めると，$k_1, k_2, k_3$ はどの $2$ つも相異なる．
• 条件 4.　どのような $m, n \in I$ に対しても $m \lt n \lt f(m) \lt f(n)$ は成り立たない．

　ここで，任意の正整数 $k$ について，関数 $f^{k} \colon I \to I$ は以下のように定義されます．

• 任意の $n \in I$ について，$f^{1}(n) = f(n)$ である．
• 任意の $n \in I$ と任意の正整数 $k$ について，$f^{k+1}(n) = f(f^{k}(n))$ である．