OMCE007(E)

点数: 600

Writer: bzuL

　$O$ を原点とする $xyz$ 座標空間上に点 $A,B,C$ を以下のように取ります． $$A=(4,0,0), \quad B=(-4,0,0),\quad C=(5,3,0)$$ $O$ を中心とする $xz$ 平面上の半径 $4$ の円を $\Gamma$ とします．線分 $AB$ 上に $\angle{ACX} = \angle{BCO}$ を満たす点 $X$ を取ります．$X$ を通る $xz$ 平面上の直線 $\ell$ と $\Gamma$ との交点を $D,E$ とすると，$XD$ の長さが整数となりました．$\dfrac{CD}{CE}$ としてありうる値の総積は，互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{q}{p}$ と表すことができるため，$p+q$ を解答してください．