OMCB011(G) - 計算無しで

　直線 $BH,BG$ と $AC$ の交点を $D,E$ とすると，$∠DBC=∠DBE$ かつ $∠BDC=90^{\circ}$ なので，$BCE$ は $BC=BE$ なる二等辺三角形．特に $CD=DE$ であるから，$E$ が $AC$ の中点なことと併せれば $$AE : ED : DC = 2:1:1$$ が分かる．
　また，$BC$ の中点を $M$ とすれば，Menelausの定理より $$\frac{AD}{DC}×\frac{CB}{BM}×\frac{MH}{HA}=1 \Rightarrow \frac{MH}{HA} = \frac{1}{6}$$ さらに $AG:GM=2:1$ と併せることで， $$AG : GH : HM = 14:4:3$$ を得る．従って，$AM=21, ~ HM=3$ である．

　角度計算により，$\triangle AMB \sim \triangle CMH$ が分かるから，$AM×MH=BM×MC=63.$ $^{(*)}$ よって $BC=2BM=6\sqrt{7}$ なので，求める答は $$\frac{1}{2}×6\sqrt{7}×21=\sqrt{\mathbf{27783}}.$$

$(*)$ より一般に，任意の鋭角三角形 $ABC$ とその垂心 $H$ について，$AH$ と $BC$ の交点を $D$ とすれば， $$AD×HD = BD×DC$$ が成り立ちます．$(\triangle ADB \sim \triangle CDH$ より．$)$