OMCB011(G) - 三角比を用いた解法

　$\angle{HBC}=\theta$ とする. また辺 $AC$ の中点を $M$ , $B$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $K$ とすると, $B,G,M$ と $B,H,K$ はそれぞれ共線である. また, 三角形 $BKC$ について $\angle K=90^{\circ}$ より, $(\angle B=)\angle C=90^{\circ}-\theta$.
　ここで 三角形 $BMC$ と $BMA$ の面積について以下が成立する. $$\begin{aligned} \bigtriangleup BMC&=\dfrac{1}{2}BM\times BC \sin{2\theta}\\ \bigtriangleup BMA&=\dfrac{1}{2}BM\times BA \sin{\{(90^{\circ}-\theta)-2\theta\}} \end{aligned}$$ $BC=2BA\cos{(90^{\circ}-\theta)}$ および $\bigtriangleup BMC=\bigtriangleup BMA$ より, 以下が成立. $$\sin{(90^{\circ}-3\theta)}=2\cos{(90^{\circ}-\theta)}\sin{2\theta}$$ 倍角の公式を用いて整理すると, $\cos{\theta}(8\cos^2\theta-7)=0$ が成立し, $0^{\circ}\lt \theta\lt 90^{\circ}$ より, $\cos{\theta}=\sqrt{\dfrac{7}{8}}$. よって, $BC$ の中点を $N$ とし, $BN=x$ とおくと, $GH=GN-HN=x\tan{2\theta}-x\tan{\theta}$ より以下を得る. $$\Bigg(\frac{\sqrt{7}}{3}-\frac{1}{\sqrt{7}}\Bigg)x=4 \iff x=3\sqrt{7}$$ よって $\bigtriangleup ABC=\dfrac{1}{2}BC\times AN=\tan{\angle B}\times BN^2=\sqrt{7}\times(3\sqrt{7})^2=\sqrt{\mathbf{27783}}$.