OMCB011(G)

　辺 $AC, BC$ の中点をそれぞれ $D, M$ とし，直線 $BH$ と $AC$ の交点を $E$ とする．
　$|GD|=4a, |HM|=b$ とする．重心は各頂点と対辺の中点を $2:1$ に内分する点であるから $BD=12a$ である．また，$\angle{CBH}=\angle{GBH}$ より， $$BM=BG\times \frac{HM}{GH} = 2ab$$ である．さらに， $$\angle CDB = 90^\circ - \angle GBH = 90^\circ - \angle CBH = \angle BCD$$ であるから三角形 $BCD$ は $BC=BD$ なる二等辺三角形であるので，$12a=4ab$ である．よって $b=3$ である． 従って，三角形 ${GBM}$ に三平方の定理を用いることで $$(2ab)^2 + (4+b)^2 = (8a)^2$$ より $a=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ が分かる．従って， $$AM=3GM=21,\quad BC=4ab=6\sqrt{7}$$ が分かるので，三角形 $ABC$ の面積は $$\frac12\times AM\times BC=63\sqrt{7}=\sqrt{27783}$$ であり，特に求める答えは $\mathbf{27783}$ である．