OMCB010(F)

　$\sin B=\sin 2C=2\sin C\cos C$ および正弦定理・余弦定理から $$\dfrac{a^2+b^2-c^2}{ab}=2\cos C=\dfrac{\sin B}{\sin C}=\dfrac{b}{c}$$ である．両辺を $abc$ 倍して整理すると $(a-c)(b^2-ac-c^2)=0$ である．

　$a=c$ のとき，三角形 $ABC$ は直角二等辺三角形になり，全ての辺の長さが整数にはなり得ず不適．

　$b^2=c(a+c)$ でかつ $c$ が $a$ の倍数のとき，正整数 $d$ を用いて $c=ad$ とおくと，$ad(a+ad)=a^2d(d+1)$ が平方数だから $d(d+1)$ も平方数になる必要があるが，$d^2\lt d(d+1)\lt (d+1)^2$ より不適．

　$b^2=c(a+c)$ でかつ $c$ が $a$ の倍数でないとき，$a$ は素数だから $c, a+c$ は互いに素なので，これらの積が平方数になるにはこれらがともに平方数である必要がある．したがって $c=m^2, a+c=n^2$ とおけて，$a=(n+m)(n-m)$ である．$a$ が素数なので $n-m=1$ で，$c=\left(\dfrac{a-1}{2}\right)^2, b=\dfrac{a^2-1}{4}$ である．以下，本解と同様である．