OMC234(F)

点数: 500

Writer: sdzzz

　$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ の外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ の中点を $M$ とし，線分 $AD$ が $\Gamma$ の直径となるような点 $D$ をとります．さらに，直線 $DM$ と $\Gamma$ との交点のうち $D$ でない方を $E$ とすると，三角形 $CEM$ の外接円と線分 $AB$ の交点がちょうど一つ存在したので，それを $F$ とします．このとき，以下が成り立ちました． $$CE : EF =4 : 1,\quad DM : EM=4 : 9,\quad BF=1$$ このとき $BC^2$ の値を求めてください．ただし求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を解答してください．