OMC230(C)

点数: 300

Writer: sqrt_3

　 凸四角形 $ABCD$ と辺 $BC$ 上の点 $P$ があります．三角形 $ABP,DCP$ の外心をそれぞれ $O_1,O_2$ とし，$P$ から直線 $O_1 O_2$ に下ろした垂線と直線 $O_1 O_2,AD$ の交点をそれぞれ $E,F$ とおきます． $$\begin{aligned} \angle ABC = \angle PAD, \quad \angle DCB &= \angle PDA,\\ AD = 80,\quad O_1O_2=81,\quad &PE = 9 \end{aligned}$$ が成り立つとき，$EF$ の長さを求めてください．