OMC226(F)

点数: 500

Writer: gnu_0624

　鋭角三角形 $ABC$ においてその外接円を $\Gamma$，その中心を $O$ とし，$B, C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D, E$ とします．また，$\Gamma$ と半直線 $ED$ の交点を $F$ としたとき，$4$ 点 $D, O, C, F$ は同一円周上にありました．また $\angle{CDF}$ の二等分線と $BF$ の交点を $G$ としたとき， $$GE : GB = 4 : 11, \quad AD = 13$$ が成立しました．このとき $CD$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ を解答して下さい．