OMC221(F)

点数: 600

Writer: MARTH

　座標空間内の点 $P$ がはじめ原点 $(0,0,0)$ にあります．$P$ を $x, y, z$ のいずれかの正方向に $1$ だけ移動させる操作を計 $900$ 回行うことで，点 $(400,400,100)$ に移動させることを考えます．
　$k=0,1,\dots,100$ に対して，各辺が $x$ 軸または $y$ 軸に平行な長方形であって，$P$ の通った $901$ 個の格子点のうち平面 $z=k$ 内に含まれるもの全てをその内部または周上に含むものの面積の最小値を $S_k$ とします．ただし，$z=k$ 内での $P$ の通った格子点が同一直線上に並ぶ，または $1$ 点のみであるとき，$S_k=0$ とします．
　ここで，一連の操作の スコア を $S_0, S_1, \ldots, S_{100}$ の総積で定めます．操作方法は全部で $\dfrac{900!}{400!400!100!}$ 通りありますが，それら全てに対するスコアの総和を $M$ とします．

　このとき，$M$ を求め，$\gcd(M, 6^M)$ の正の約数の個数を解答してください．