OMC210(F)

点数: 900

Writer: Niov0256

　OMC君はOMCに提出するために以下の問題を作成しましたが，数値設定に悩んでいます．

問題．$CA\gt CB$ なる三角形 $ABC$ において，内心，外心をそれぞれ $I, O$ とし，外接円を $\Gamma$ とします．$\Gamma$ の弧 $ACB$ の中点を $M$ とし，さらに三角形 $OMC$ の外接円と三角形 $OAB$ の外接円の交点のうち $O$ と異なるものを $P$ とおいたところ， $$IO=p,\quad OP=q,\quad PI=a$$ が成立しました．このとき，$\Gamma$ の半径を求めてください．

　OMC君には強いこだわりがあり，以下の条件をすべて満たすように問題中の $p, q, a$ を設定したいです：

• いずれも正の整数であり，さらに $p, q$ はいずれも素数である．
• $p, q, a$ を設定したときに問題の条件を満たす三角形 $ABC$ が存在する．
• 解答，すなわち $\Gamma$ の半径は一意に定まり，かつ正の整数になる．

　上の条件を満たす範囲で $p, q, a$ を動かすことを考えます．$a$ がありうる最小の値を取るとき，$\Gamma$ の半径としてありうる最小の値を求めてください．