OMC190(F) - 公式解説のような予想を立てるまで

　ここではどこから $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ がでてきたか(自分の場合の話ですが)書いていきたいと思います．
まず，$a_{n}$ を小さな値から順に求めていくと，Fibonacci数列( $b_{n + 2} = b_{n + 1} + b_{n} , b_{1} = b_{2} = 1$ ) が $a_{b_{n}} = b_{n + 1}$ または $a_{b_{n}} = b_{n + 1} + 1$ という形で出てきていることがわかります(実際に帰納法で示すことができます)．ここで思い出すのが数列 ${b_{n}}$ の比率の話で

$$\lim_{n \to \infty} {\dfrac{b_{n + 1}}{b_{n}}} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$$

になることが知られてます．そこから漸化式の形も考慮すると公式解説のような予測が立ちます．