OMC190(E) - 補助線を使わずに

　接弦定理と円周角の定理から $$\angle{AFD} = \angle{PAB} = \angle{PED} = \angle{PCB}$$

$$\angle{DPE} = \angle{DAF} = \angle{BPC}$$

なので，三角形 $ADF$ と三角形 $PDE$ と三角形 $PBC$ はそれぞれ相似なことがわかる．ここで，$DE \parallel BF$ より $AE = 10x , EF = 11x$ とおける．よって

$$PB : PC = AD : AF = 10 : 21x$$

が得られる．また，回転相似から三角形 $BPD$ と三角形 $CPE$ は相似なので

$$PB : PC = BD : CE = 11 : 21 - 10x$$

なので，あとはこれらを連立させて解くと $x = \dfrac{210}{331}$ が得られる．以上より，

$$CF = 21 - 21x = \dfrac{2541}{331}.$$

よって，求める答えは $\bf{2872}$ である．