OMC160(C)

点数: 500

Writer: Shota_1110

　正二十面体があり（正二十面体の各面は正三角形です），その頂点のうち一つを $R$ とします．動点 $P, Q$ がはじめ頂点 $R$ に位置しており，この状態から以下の一連の操作を $6$ 回繰り返します（すなわち，移動は計 $12$ 回起こります）：

• $P$ がいま位置している頂点に対して，辺で繋がった頂点 $5$ つの中から等確率に $1$ つを選び，$P$ をそこに移動する．
• $Q$ がいま位置している頂点に対して，辺で繋がった頂点 $5$ つの中から等確率に $1$ つを選び，$Q$ をそこに移動する．

　操作をすべて終えたのち，正二十面体の頂点からなる長さ $r\,(\geq 1)$ の列 $V_1, \ldots, V_r$ であって，以下の条件をすべてみたすものを考えます：

• 初項 $V_1$ と末項 $V_r$ は同じ頂点である．
• 任意の $i = 1, \ldots, r-1$ に対して，$V_i$ と $V_{i+1}$ は辺で繋がっている．
  ただし，$r=1$ のときこの条件は自動的にみたされているとみなす．
• $R$ および移動をすべて終えた後の $P, Q$ は，それぞれ $V_1, \ldots, V_r$ のいずれかに一致する．

$P,Q$ の移動方法を固定したとき，このような列の長さ $r\,(\geq 1)$ のとりうる最小値を $m$ とします．このとき，$m$ の期待値を求めてください．ただし，求める期待値は互いに素な正整数 $a, b$ によって $\displaystyle \frac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ を解答してください．