OMC154(F)

点数: 500

Writer: idtwstaos

　$13\times 13$ のマス目と，一辺の長さが $1$ である通常の立方体のサイコロがあります．サイコロははじめ $1$ の目を上に向けて，もっとも左上のマスにぴったり置かれています．
　いま，このサイコロを，辺を共有するマスに辺にそって転がす（倒す）ことを繰り返し，もっとも右下のマスまで最短の回数で移動させることを考えます．このとき，ある移動方法に対して，そのスコアを以下で定めます：

• サイコロが途中で通過した全 $25$ マス（始点と終点を含む）のうち，サイコロの $6$ の目が上に向いていたマスの数

スコアとしてありうる最大値を $M$ としたとき，スコアが $M$ となる移動においてサイコロが通過する全 $25$ マスの集合としてありうるものは何通りありますか？

　ただし，通常の立方体のサイコロの各面には，$1$ から $6$ までの整数のうちいずれか一つに対応する目が一度ずつ書かれており，向かい合う位置に書かれた目に対応する整数の和はつねに $7$ です．なお，サイコロの目の配置や，最初のマスでの置き方は複数ありえますが，この問題の答えはそれらによりません．