OMC100(F)

点数: 900

Writer: simasima

　以下のように，正三角形状に非負整数を並べた配列が整った三角形であるとは，最下行以外に位置する任意の数について，そのすぐ下に位置する左右 $2$ つの数の最小値以下であることを指します．以下は $4$ 段の整った三角形の一例となっています． $$\begin{aligned} ~ & & ~ & & ~ & & 0 & & ~ & & ~ & & ~ \\ ~ & & ~ & & 1 & & ~ & & 2 & & ~ & & ~ \\ ~ & & 1 & & ~ & & 5 & & ~ & & 2 & & ~ \\ 2 & & ~ & & 7 & & ~ & & 6 & & ~ & & 6 \end{aligned}$$ 　また，$n$ 段の整った三角形の整い度を，以下に示す二項係数の総積で定めます．
　ただし，上から $x(\geq 1)$ 段目，左から $y(\geq 1)$ 個目に位置する数を $a_{x,y}$ で表すものとし，$i=0,1,\ldots$ に対し $a_{i,0}=0$ とします． $$\prod_{x=2}^{n}\prod_{y=1}^{x-1} \binom{a_{x,y}-a_{x-2,y-1}}{a_{x,y}-a_{x-1,y}}$$ 　$2022$ 段の整った三角形であって，以下をみたすものすべてについて，それらの整い度の総和を $S$ とします．$S$ が $2$ で割りきれる最大の回数を求めてください． $$a_{2022,i}=10000 \quad (1\leq i\leq 2022),\qquad a_{2021,1000}=5678$$