OMC081(E)

点数: 700

Writer: HighSpeed

　$I$ を内心とする三角形 $ABC$ において，円 $\Gamma$ は点 $A$ を通り，直線 $BI, CI$ にそれぞれ点 $T, U$ で接します．このとき線分 $AB, AC$ について，それぞれ $\Gamma$ との $A$ でない交点 $D, E$ が存在しました．さらに直線 $DT, EU$ が点 $P$ で，直線 $DU, ET$ が点 $Q$ で交わりました．ある実数 $x$ について $$AD = 20,\qquad AE = 22,\qquad IP = IQ = x$$ となるとき，$x^2$ は平方因子を持たない正整数 $c$ および正整数 $a$, $b$ を用いて $a - b \sqrt c$ と表されるので，$a + b + c$ を解答してください．