NF杯2024(R)

点数: 400

Writer: tori9

　半径 $2024$ の円 $\Gamma$ に内接する三角形 $ABC$ があり，その垂心を $H$，外心を $O$ とします．直線 $BH, CH, AO$ と $\Gamma$ が再び交わる点をそれぞれ $P(\neq B),~ Q(\neq C), ~ R(\neq A)$ とします．線分 $PR, QR$ の中点をそれぞれ $M, N$ とし，直線 $MN$ と直線 $BC$ の交点を $X$ とするとき，三角形 $AHO$ と三角形 $RXH$ は相似でした（点は並び順の通りに対応する）．このとき，線分 $XR$ の長さの二乗は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．