矢上杯2023(D)

点数: 100

Writer: ojamesi1357

　鋭角三角形 $ABC$ があり，$3$ つの長方形 $R_1,R_2,R_3$ が以下の条件をみたします：

• 長方形 $R_1$ のある一辺は線分 $CA$ であり，その向かい合う辺は点 $B$ を通る．
• 長方形 $R_2$ のある一辺は線分 $AB$ であり，その向かい合う辺は点 $C$ を通る．
• 長方形 $R_3$ のある一辺は線分 $BC$ であり，その向かい合う辺は点 $A$ を通る．

　さらに，$R_1, R_2$ 両方の辺上にあって，いずれの長方形の頂点でもない点がただ $1$ つ存在するので，それを点 $D$ とします．同様に $R_2,R_3$ に対して点 $E$ を，$R_3,R_1$ に対して点 $F$ をそれぞれ定めると，以下が成立しました： $$\operatorname{Area}(\triangle{BDE})=23,\quad \operatorname{Area}(\triangle{CEF})=24,\quad \operatorname{Area}(\triangle{AFD})=25.$$ このとき， $$\operatorname{Area}(\triangle{ABF})=x,\quad \operatorname{Area}(\triangle{BCD})=y, \quad \operatorname{Area}(\triangle{CAE})=z$$ なる実数 $x,y,z$ について，それらの積 $xyz$ を解答してください．
　ただし，$\operatorname{Area}(\triangle{XYZ})$ で $\triangle{XYZ}$ の面積を表すものとします．