TMO2022(K)

　次が成り立つため $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}S_i$ と $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{S_i}^2$を求めればよい. $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}S_iS_j=\frac{1}{2}\left(\left(\sum_{i=1}^{n}S_i\right)^2-\sum_{i=1}^{n}{S_i}^2\right)$$

位別に総和への寄与を考えれば次のように計算できる. $0$ である位は総和に影響しないことに留意せよ.

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}S_i &=\sum_{i=1}^{9}100i\cdot\frac{(10-i)(11-i)}{2} +\sum_{i=1}^{9}10i\cdot i(10-i) +\sum_{i=1}^{9}i\cdot\frac{i(i+1)}{2}\\ &=58905,\\ \sum_{i=1}^{n}S_i^2 &=\sum_{i=1}^{9}(100i)^2\cdot\frac{(10-i)(11-i)}{2} +\sum_{i=1}^{9}(10i)^2\cdot i(10-i) +\sum_{i=1}^{9}i^2\cdot\frac{i(i+1)}{2}\\ &\quad +2\sum_{i=1}^{9}\sum_{j=i}^{9}100i\cdot 10j\cdot(10-j) +2\sum_{i=1}^{9}\sum_{j=i}^{9}100i\cdot j\cdot(j-i+1)\\ &\quad +2\sum_{i=1}^{9}\sum_{j=i}^{9}10i\cdot j\cdot i\\ &=27888399 \end{aligned}$$

　以上より解答すべき値は $\dfrac{58905^2-27888399}{2}=\bm{1720955313}$.