ここでは，どのように解を探したかを書いてみます．
まず，係数がすべて正なので，解はすべて負であることがわかります．4 つの解を x=−a,−b,−c,−d とすると，
A=a+b+c+d,B=ab+bc+cd+ac+bd+ad,C=abc+abd+acd+bcd,D=abcd
となります．ここから先は勘による推測となります．
D についての条件を見ると，D がある程度絞れそうだとわかります．
1,2,3,4,5,6,8,9 で作れる数のうち，約数が多そうなものを挙げると，24,36,48,72,96 などがあります．
a,b,c,d はあまり大きくならなそうなので，a,b,c,d が良い感じになるように D の候補を探すと，D=48 で (a,b,c,d)=(1,2,4,6) のときに A=13, B=56, C=92 となって無事に見つかりました．