OMCT001(F)

　$A, B, C, D$ の最大公約数は $1$ または $2$ べきであることを示す：

• いずれも $3$ の倍数であるとき，$A, B, C, D$ の各桁に登場する $8$ 個の整数の和は $3$ の倍数になるが，和は $38$ であるため $3$ は公約数に持たない
• $5$ の倍数は高々一つしか登場しないので $5$ は公約数に持たない
• いずれも $7$ の倍数であるとき，$3$, $5$ ,$6$ が登場するものがそれぞれ $35$, $56$, $63$ のみであり，このとき必ず重複があらわれるので $7$ は公約数に持たない
• 二桁の $11$ の倍数はいずれも十の位と一の位が等しいことから $11$ は公約数に持たない
• $13, 17, 19, 23$ のそれぞれを公約数にもつとき，それぞれ $4, 2, 2, 5$ に注目すればいずれも矛盾
• $25$ 以上の素数 $p$ について $10$ 以上 $100$ 未満に $p$ の倍数は高々 $3$ 個しか登場しないのでそれらを公約数に持つことはない

「$2$ を公約数に持つ $\iff$ $A, B, C, D$ の一の位がいずれも偶数」が成立することに留意すれば，求めるべき場合の数は ${}_8 \mathrm{C} {}_4\times4!-4!=\mathbf{1656}$ である．