OMCE011(E)

点数: 800

Writer: pomodor_ap

　$AB\lt AC$ なる三角形 $ABC$ について内心を $I$，内接円を $\omega$ とします．$\omega$ と辺 $BC, CA, AB$ の接点を $D, E, F$ とし，$I$ について $D$ と対称な点を $G$ とします．$D$ から線分 $EF$ に下ろした垂線と線分 $EF,\omega$ の交点をそれぞれ $H, J ~ (\neq D)$ として，直線 $GH$ と $\omega$ の交点を $K ~ (\neq G)$ とします．すると，直線 $JK$ が三角形 $IBC$ の外接円と相異なる $2$ 点 $X, Y$ で交わり，さらに以下が成り立ちました．

• $4$ 点 $J, K, Y, X$ はこの順に並び，$KY=2, ~ YX=9$ が成り立つ．
• $EF:BC=1:3$ が成り立つ．
• $Y$ は三角形 $ABC$ の内部にある．

このとき，線分 $IX$ の長さは $a, c$ が互いに素であるような正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{a+\sqrt b}{c}$ と表せるので，$a+b+c$ の値を解答してください．