OMCE011(B)

点数: 400

Writer: Quez9271

　$a_1, a_2, \ldots, a_n$ は $1$ 以上 $3$ 以下の整数からなる数列であり，$a_{n+1}=a_1, ~ a_{n+2}=a_2$ と定義すると，全ての $n$ 以下の正整数 $k$ で $a_{k+1}≠a_k$ が成り立ち，かつ $n$ 以下の正整数 $i$ のうち，

• $(a_i,a_{i+1})=(1,3)$ となるものがちょうど $132$ 個
• $(a_i,a_{i+1})=(2,1)$ となるものがちょうど $213$ 個
• $(a_i,a_{i+1})=(3,2)$ となるものがちょうど $321$ 個
• $(a_i,a_{i+1},a_{i+2})=(1,2,3)$ となるものがちょうど $123$ 個

ずつ存在します．このような正の整数 $n$ としてありうるものは有限個なので，これらすべての総和を求めてください．