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OMCE011

OMCE011(E)

　まずは次の補題を示す．

補題． 44 点 I,J,D,XI,J,D,X は同一円周上にある．

証明 　線分 DH,DE,DFDH,DE,DF の中点を L,M,NL,M,N とすると中点連結定理より，この 33 点は同一直線上にあり，次の角度計算により，44 点 I,L,K,JI,L,K,J が同一円周上にあることがわかる． ∠JLI=∠JHG=90∘−∠JGK=∠JKI\angle JLI = \angle JHG = 90^\circ - \angle JGK = \angle JKI ここで，ω\omega による反転を考えると，直線 MNMN は三角形 IBCIBC の外接円に移り，円 I,L,K,JI,L,K,J は直線 JKJK に移る．これと，X,YX,Y の位置関係より，点 LL は点 XX に移ることがわかる．したがって 33 点 I,L,XI,L,Xは同一直線上にあり，次が成り立つ． IJ2=ID2=IL⋅IXIJ^2=ID^2=IL\cdot IX よって 44 点 I,J,D,XI,J,D,X は同一円周上にある．□\square

　補題から，簡単な角度計算により，三角形 IBC,JFEIBC,JFE は相似であり，かつ三角形 IDX,JHKIDX,JHK も相似である．よって四角形 IBXC,JFKEIBXC,JFKE は相似であり， IX:JK=BC:FE=3:1IX:JK=BC:FE=3:1 がしたがう．また，次の角度計算により，∠JIY=90∘\angle JIY=90^\circ が示される． ∠JYI+∠IJY=∠ICX+(90∘−∠JEY)=90∘\angle JYI+\angle IJY=\angle ICX +(90^\circ -\angle JEY)=90^\circ よって線分 JKJK の中点を PP とすれば，∠IPJ=90∘\angle IPJ=90^\circ より次が成り立つ． JP⋅JY=JI2JP\cdot JY=JI^2 以上より，JK=2x, IX=6xJK=2x, ~ IX=6x とおくことができ，次が成り立つ． (6x)2=XL⋅XI+IL⋅IX=XK⋅XJ+IJ2=XK⋅XJ+JP⋅JY=11(2x+11)+x(2x+2)\begin{aligned} (6x)^2&=XL\cdot XI+IL\cdot IX\\ &=XK\cdot XJ+IJ^2\\ &=XK\cdot XJ+JP\cdot JY\\ &=11(2x+11)+x(2x+2) \end{aligned} この xx についての 22 次方程式を解くことで，IX=6x=36+3832217IX=6x=\dfrac{36+\sqrt{38322}}{17} を得るので，特に解答すべき値は 38375\mathbf{38375} である．

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