OMCE010(E)

点数: 700

Writer: BAKATAN

　$AB \neq AC$ かつ $AB\lt BC$ をみたす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とすると，$H$ を中心とし $A$ を通る円 $\Omega$ が直線 $BC$ と相異なる $2$ 点 $D,E$ で交わりました．三角形 $HDE$ の外接円を $\omega$ とし，$\omega$ と直線 $BH, CH$ の交点のうち $H$ でない方をそれぞれ $P,Q$ とします．$P$ での $\omega$ の接線と直線 $AC$ の交点を $R$，$Q$ での $\omega$ での接線と直線 $AB$ の交点を $S$ とすると，線分 $RS$ と $\Omega$ の交点がただ一つ存在したので，これを $X$ とします．いま， $$RX=7, \quad SX=3, \quad BP:CQ=119:45$$ が成り立つとき，三角形 $ABC$ の外接円の半径を求めてください．ただし，求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．