OMCE009(F) - miquel点

　$\gamma$ の $P,Q$ での接線の交点を $E$，直線 $AE$ と $\gamma$ との交点のうち $A$ でない方を $F$とすると，$A,P,F,Q$ は調和四角形をなす．また，$R$ を中心とする回転相似で $\Gamma$ と $\gamma$，$E$ と $F$ がそれぞれ対応するので $$\frac{CD}{BD}=\frac{AP}{AQ}=\frac{FP}{FQ}=\frac{BE}{CE}$$ より $BD=CE,BE=CD$ がわかる．さらに，線分 $PQ$ の中点を $N$ とすると等角共役の議論から $A,D,N$ は同一直線上にある．
　ここで，直線 $AD$ と $\gamma$ との交点のうち $A$ でない方を $S$ とすると，$R$ を中心とする回転相似で $D$ と $S$ が対応する．線分 $BC$ の中点を $M$ とすると $\angle ENP=90^\circ$ より $$\begin{aligned} \angle DME &=|\angle BMD-\angle CMD|\\ &=|\angle PNS-\angle QNS|\\ &=2\angle DNE \end{aligned}$$ なので，$DM=EM=NM$ がわかる．一方，$R$ を中心とする回転相似で $M$ と $N$ も対応するので $\triangle DRS\sim \triangle MRN$ より $\angle RDS=\angle RMN$，すなわち $D,M,N,R$ が同一円周上にあることがわかる．$DM=NM$ と $\angle DRS=\angle MRN$ より $M,R,S$ は同一直線上にあり $$DN=AD-\frac{BC}{2}=7$$ $$DM=NM=\frac{PQ}{2}=4$$ $$NS=\frac{PN\cdot QN}{AN}=\frac{8}{3}$$ $$DS=DN-NS=\frac{13}{3}$$ なので $$MS=\frac{2\sqrt{10}}{3}$$ $$DR=DS\cdot \frac{DM}{MS}=\sqrt{\frac{338}{5}}$$ と順次求まる．