OMCE009(D) - 別解

　以下，合同式は $3$ を法とするものとする．$k=1,2\dots,20$ に対し，$a_k$ を $x_k$ を $3$ で割った余り，$b_k$ を $x_k$ を $2$ で割った余りとする．このとき，$(a_1,a_2,\dots,a_{20},b_1,b_2,\dots,b_{20})$ と $(x_1,x_2,\dots,x_{20})$ は $1$ 対 $1$ に対応する．また，$2^2\equiv1$ であることに注意すると，$$\sum_{k=1}^{10}(x_k)^{x_{10+k}}\equiv\sum_{k=1}^{10}(a_k)^{b_{10+k}},\sum_{k=1}^{10}(x_{10+k})^{x_k}\equiv\sum_{k=1}^{10}(a_{10+k})^{b_k}$$である．ただし，$0^0\equiv0$ とする．よって，$\displaystyle\sum_{k=1}^{10}(a_k)^{b_{10+k}}$ が $3$ の倍数となるような組 $(a_1,a_2,\dots,a_{10},b_{11},b_{12},\dots,b_{20})$ の個数の $2$ 乗を求めればよい．$0^0\equiv0,0^1\equiv0,1^0\equiv1,1^1\equiv1,2^0\equiv1,2^1\equiv2$ なので，$f(x)=(2+3x+x^2)^{10},\omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}$として， 求める場合の数は$$\Big(\frac{1}{3}\sum_{k=0}^2f(\omega^k)\Big)^2=\Big(\frac{1}{3}\sum_{k=0}^2(2+3\omega^k+\omega^{2k})^{10}\Big)^2=\textbf{406233296352900}$$と求まる．