OMCE005(E) - 留数による立式

$$f(z) = \frac{ z^{130} }{ \displaystyle \prod_{i=1}^{128} (z-a_i) }$$

とすると，極 $z = a_i$ における留数が求めたい和の各項に一致する．有理関数の $\mathbb{C} \cup \{ \infty \}$ における留数の総和は $0$ なので，以下のように変形できる：

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{128} \frac{ {a_i}^{130} }{ \displaystyle \prod_{j=1}^{127} (a_i-a_{i+j}) } & = \sum_{i=1}^{128} \mathrm{Res} (f,a_i) \\ & = - \mathrm{Res} (f,\infty) \\ & = \mathrm{Res} \Biggl( z^{-4} \prod_{i=1}^{128}(1-a_i z)^{-1} ,0\Biggr) \\ & = \left[z^3\right] \prod_{i=1}^{128} (1-a_i z)^{-1} \end{aligned}$$

原点まわりで $(1 - a_i z)^{-1} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_i^n z^n$ であることを用いると，公式解説の $S_3 - 2S_1S_2 + S_1^3$ が得られる．