OMCE004(E)

点数: 700

Writer: natsuneko

　垂心が $H$ である三角形 $ABC$ があり，$A$, $B$, $C$ から直線 $BC$, $CA$, $AB$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $H_A, H_B, H_C$ とします．線分 $H_AC$ 上（両端点を除く）に点 $X$ を取り，直線 $AB, AC$ に関して $X$ と対称な点をそれぞれ $Y, Z$ とすると，$3$ 直線 $YZ , AH , H_BH_C$ が $1$ 点 $L$ で交わりました．さらに線分 $XY$ の中点を $M$ とし，三角形 $ALM$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円の $A$ でない方の交点を $P$ とすると， $$AP = 5, \quad PM = \sqrt{2}, \quad \angle ACB = 45^\circ$$ となりました．このとき，辺 $BC$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ によって $\sqrt\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答して下さい.