OMCB038(H) - 図形をくっつける

　まず、$AC$ と $CD$ をくっつけることを考える。このとき、$A$ を $D$ に移し、$C$ に関して $P$ と対称な点を $Q$ とする。(つまり、$\triangle ACP$ は $\triangle DCQ$ に移ったということである) また、$C$ に関して $B$ と対称な点を $E$ として、直線 $QE$ と 線分 $DP$ との交点を $F$ とする。このとき、明らかに $D,E,C$ は、一直線上にある。また、$C$ は 線分 $PQ$ の中点にある。よって、メネラウスの定理より、$DF:FP=3:2$ 。よって、 $DF:DP=3:5$ 。また、$\angle DQF=\angle DPQ$ より $\triangle DQF\sim\triangle DPQ$ から、$DF=3x,DP=5x$ とおくと、$DQ=\sqrt{15}x$ となる。ここで、$\angle DPQ$ を最大にすることを考える。すると、$\angle DQP=90^{\circ}$ のとき最大になり、図も存在するので、このとき、${\sin}\angle DPQ=\sqrt{\dfrac{3}{5}}$ となる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　※ $\angle DPQ$ を最大にすることを考えるとき、$D$ を中心として $DQ$ を半径の長さとする円を描くと、イメージしやすくなる。