OMCB034(C)

　$AB \parallel DC$ と $\angle{ABE} = \angle{EBC}$ から $\angle{EBC} = \angle{CEB}$ がわかり，$BC = CE = AE$ となるから，四角形 $ABCE$ は等脚台形であり，$A,B,C,E$ は共円である．
　$\angle DAE = 4\theta$ とおくと， $$180^\circ = \angle BAE + \angle BCD = 2 \angle BCD - 4\theta$$ より $\angle BCD = 90^\circ + 2\theta$ を得る．すると $\angle BAE = 90^\circ - 2\theta$ と $\angle ABE = 45^\circ - \theta$ がわかるため，$\angle BEA = 45^\circ + 3\theta$ である．問題の条件よりこれは $4\angle DAE = 16\theta$ に等しいので，$\theta = \left( \dfrac{45}{13} \right)^\circ$ を得る．よって， $$\angle ABC = 90^\circ - 2\theta = \left( \dfrac{1080}{13} \right)^\circ$$ なので，解答すべき値は $\mathbf{1093}$ である．