OMCB026(F)

点数: 300

Writer: Shota_1110

　三角形 $ABC$ が $$\angle A = 90^{\circ}, \quad AB+AC=\sqrt{1110},\quad BC=26,\quad AB\gt AC$$ をみたしています．ここで辺 $AB, AC$ 上にそれぞれ点 $P, Q$ をとり，辺 $BC$ 上に $2$ 点 $R, S$ を $B, R, S, C$ がこの順に並ぶようとったところ，以下の $3$ 条件をみたす円 $\Omega$ が存在しました：

• $\Omega$ は辺 $AB$ と点 $P$ で接する．
• $\Omega$ は辺 $AC$ と点 $Q$ で接する．
• $\Omega$ は辺 $BC$ と $2$ 点 $R, S$ で交わる．

さらに $RS = SC$ が成り立っているとき，線分 $BR$ の長さは互いに素な正整数 $p, q$ によって $\dfrac{p}{q}$ と表せるので，$p + q$ を解答してください．