OMCB024(H)

点数: 300

Writer: moso

　鋭角三角形 ${ABC}$ があり，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．直線 $AM$ と三角形 ${ABC}$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $P$ とし，線分 $AM$ の中点を $N$ とします．また，三角形 $BCN$ の外接円と直線 $AM$ の交点のうち $N$ でない方を $Q$ とします． $$AM=MQ,\quad BP=5,\quad CP=3$$ が成立するとき，三角形 ${ABC}$の面積の $2$ 乗を求めてください．
　ただし求める値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{q}{p}$ と表されるので $p+q$ を解答してください．