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OMCB018

OMCB018(H) - 思考過程

ユーザー解説 by jjmmxx

　解説のモチベーションです．

　4an−3\sqrt{4a_n-3} があります．この中身は何もいじれなさそうなので，4an−34a_n-3 をベースに考えていきたいです．もとの式を 44 倍して 33 を引くと， 4an+1−3=4an2−4an4an−3+4an−34a_{n+1}-3 = 4a_n^2 - 4a_n\sqrt{4a_n-3} + 4a_n - 3 (ここで，右辺にも 4an−34a_n-3 があるので方針は間違ってなさそうだと思います．)
　右辺は因数分解ができそうです．見やすいように c=an, d=4an−3c=a_n, ~ d=\sqrt{4a_n-3} とおけば，左辺は 4c2−4cd+d24c^2-4cd+d^2 で 4c2−4cd+d2=(2c−d)24c^2-4cd+d^2 = (2c-d)^2 なので，右辺は (2an−4an−3)2(2a_n-\sqrt{4a_n-3})^2 だったと分かりました．

　置換をしていきます．bn=4an−3b_n = \sqrt{4a_n-3} とおきましょう．すると 2an=bn2+322a_n = \dfrac{b_n^2 + 3}{2} なので bn+12=(bn2+32−bn)2→bn+1=bn2−2bn+32b_{n+1}^2 = \bigg( \dfrac{b_n^2 + 3}{2} - b_n \bigg)^2 \rightarrow b_{n+1} = \dfrac{b_n^2 - 2b_n + 3}{2} となります．(ただまだ解ける形ではなさそうです．) 右辺は 22 次式なので平方完成してみると， bn2−2bn+32=12(bn−1)2+1\dfrac{b_n^2 - 2b_n + 3}{2} = \dfrac{1}{2} (b_n-1)^2 + 1 うまくいきました．つまり， bn+1−1=12(bn−1)2b_{n+1}-1 = \dfrac{1}{2} (b_n-1)^2 となり，bn−1b_n-1 を一かたまりとして見れるようになりました．bn−1b_n-1 をまた cnc_n として置いてもいいですが， bn+1−12=(bn−12)2\dfrac{b_{n+1}-1}{2} = \bigg(\dfrac{b_n-1}{2} \bigg)^2 なので cn=bn−12c_n = \dfrac{b_n-1}{2} とするとより見やすいかもしれません．こうすると， c1=3,　cn+1=cn2c_1 = 3,　c_{n+1} = c_n^2 なので cn=3(2n−1)c_{n} = 3^{(2^{n-1})} です．あとは順に戻していくと ana_n が求まります．