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OMCB012

OMCB012(H) - 順像法

ユーザー解説 by ykymst

本質的には 代数的に解く方法 と全く等しいが, 変数変換も図形的洞察も用いずに, 微分を含む式変形と場合分けで厳密に解ける.

円周の方程式は y2=−(x−tan⁡α)2+(2−1cos⁡α)2 y^2 = - \left(x-\tan{\alpha}\right)^2 + \left(2-\frac{1}{\cos{\alpha}}\right)^2 で表され, この右辺を f(α,x)f(\alpha, x) とする. 各 xx に対して, g(x)=max⁡α∈[0, π3]f(α,x) g(x)=\max_{\alpha \in \left[0, \ \frac\pi 3 \right]}f(\alpha, x) を知りたい.

∂f(α,x)∂α=2cos⁡2α(x−2sin⁡α) \frac{\partial f(\alpha, x)}{\partial \alpha}=\frac{2}{\cos^2 \alpha}\left(x-2\sin{\alpha}\right)

x<0x\lt 0 のとき, g(x)=f(0,x)=−x2+1g(x)=f(0, x)=-x^2+1.
0≤x≤30\leq x\leq\sqrt{3} のとき, g(x)=f(arcsin⁡x2,x)=(−x2+4−1)2≥0g(x)=f\left(\arcsin{\frac x 2}, x\right)=\left(\sqrt{-x^2+4}-1 \right)^2 \geq 0.
x>3x\gt \sqrt{3} のとき, g(x)=f(π3,x)=−(x−3)2<0g(x)=f\left(\frac\pi 3, x\right)=-\left(x-\sqrt 3 \right)^2 \lt 0.

円周の通過領域は, g(x)≥0g(x)\geq 0 なる xx 上で ∣y∣≤g(x)|y|\leq \sqrt{g(x)} で表される部分で, その面積は 2(∫−10−x2+1 dx+∫03(−x2+4−1)dx)=116π−3 2\left(\int_{-1}^{0} \sqrt{-x^2+1} \ \mathrm{d}x + \int_{0}^{\sqrt{3}} \left(\sqrt{-x^2+4}-1\right) \mathrm{d}x\right)=\frac{11}{6}\pi-\sqrt{3} である.