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OMCB012

OMCB012(H) - 包絡線の話

ユーザー解説 by MARTH

　参考:高校数学の美しい物語
　筆者の勉強不足につき, 若干厳密性を欠くと思います.

　曲線の方程式は実数 α\alpha を用いて, f(x,y,α)=(x−tan⁡α)2+y2−(2−1cos⁡α)2=0f(x,y,\alpha)=(x-\tan \alpha)^2+y^2-(2-\frac{1}{\cos \alpha})^2=0 と表される. このとき, ddαf(x,y,α)=−2cos⁡2α(x−2sin⁡α)=0\frac{d}{d\alpha}f(x,y,\alpha)=-\frac{2}{\cos^2\alpha}(x-2\sin \alpha)=0 となり, f(x,y,α)=0f(x,y,\alpha)=0 と ddαf(x,y,α)=0\dfrac{d}{d\alpha}f(x,y,\alpha)=0 を連立して α\alpha を消去して得られる方程式が, f(x,y,α)=0f(x,y,\alpha)=0 の包絡線(任意の α\alpha に対して, f(x,y,α)=0f(x,y,\alpha)=0 に接する曲線)となることが知られている.
　ddαf(x,y,α)=0\dfrac{d}{d\alpha}f(x,y,\alpha)=0 より, sin⁡α=12x\sin \alpha=\dfrac{1}{2}x を f(x,y,α)=0f(x,y,\alpha)=0 に代入してみる. (cos⁡α=0\cos \alpha=0 のとき曲線が定義されないので, 以降も cos⁡α≠0(  ⟺  sin⁡2α−1≠0)\cos \alpha\neq 0(\iff \sin^2\alpha-1\neq 0) として式変形する.) (x−tan⁡α)2+y2−(2−1cos⁡α)2=0  ⟺  x2−2tan⁡αx+y2+4cos⁡α−4+tan⁡2α−1cos⁡2α=0  ⟺  x2+y2−5=2sin⁡αx−4cos⁡α  ⟹  (x2+y2−5)2=(2sin⁡αx−4)21−sin⁡2α  ⟺  (x2+y2−5)2=(x2−4)21−(x2)2  ⟺  (x2+y2−5)2+4(x2−4)=0  ⟺  x4+y4+2x2y2−10x2−10y2+25+4x2−16=0  ⟺  x4+(2y2−6)x2+(y4−10y2+9)=0  ⟺  x4+(2y2−6)x2+(y2−9)(y2−1)=0  ⟺  x4+(2y2−6)x2+(y−3)(y+1)(y+3)(y−1)=0  ⟺  x4+(2y2−6)x2+(y2−2y−3)(y2+2y−3)=0  ⟺  (x2+y2−2y−3)(x2+y2+2y−3)=0  ⟺  (x2+(y−1)2−4)(x2+(y+1)2−4)=0 \begin{aligned} &(x-\tan \alpha)^2+y^2-(2-\frac{1}{\cos \alpha})^2=0\\ \iff & x^2-2\tan\alpha x+y^2+\frac{4}{\cos\alpha} -4+\tan^2\alpha-\frac{1}{\cos^2\alpha}=0\\ \iff &x^2+y^2-5=\frac{2\sin \alpha x-4}{\cos \alpha}\\ \implies &(x^2+y^2-5)^2=\frac{(2\sin \alpha x-4)^2}{1-\sin^2 \alpha}\\ \iff &(x^2+y^2-5)^2=\frac{(x^2-4)^2}{1-(\frac{x}{2})^2}\\ \iff &(x^2+y^2-5)^2+4(x^2-4)=0\\ \iff &x^4+y^4+2x^2y^2-10x^2-10y^2+25+4x^2-16=0\\ \iff &x^4+(2y^2-6)x^2+(y^4-10y^2+9)=0\\ \iff &x^4+(2y^2-6)x^2+(y^2-9)(y^2-1)=0\\ \iff &x^4+(2y^2-6)x^2+(y-3)(y+1)(y+3)(y-1)=0\\ \iff &x^4+(2y^2-6)x^2+(y^2-2y-3)(y^2+2y-3)=0\\ \iff &(x^2+y^2-2y-3)(x^2+y^2+2y-3)=0\\ \iff &(x^2+(y-1)^2-4)(x^2+(y+1)^2-4)=0\\ \end{aligned} よって, f(x,y,α)=0f(x,y,\alpha)=0 の包絡線は (0,1)(0,1) を中心とする半径 22 の円と (0,−1)(0,-1) を中心とする半径 22 の円であることが計算により得られた.