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OMCB011

OMCB011(H) - 漸化式の立て方

ユーザー解説 by jjmmxx

　有名かもしれない話です．

　α=999+999997, β=999−999997\alpha = 999+ \sqrt{999997}, ~ \beta = 999- \sqrt{999997} について，an=αn+βna_n = \alpha^n + \beta^n です．

　今，α,β\alpha,\beta は xx についての 22 次方程式 x2−1998x−1996=0x^2-1998x-1996=0 の解なので，もちろん α2−1998α−1996=0,　β2−1998β−1996=0\alpha^2-1998\alpha-1996=0,　\beta^2-1998\beta-1996=0 です．22 式それぞれに αn,βn\alpha^n,\beta^n を掛けると αn+2−1998αn+1−1996αn=0,　βn+2−1998βn+1−1996βn=0\alpha^{n+2}-1998\alpha^{n+1}-1996 \alpha^{n}=0,　\beta^{n+2}-1998\beta^{n+1}-1996 \beta^{n}=0 となるので，これらを足して an+2−1998an+1−1996an=0a_{n+2} - 1998a_{n+1} - 1996a_{n} = 0 を得ます．