OMCB011(H)

$$a_n=(999+\sqrt{999997})^n+(999-\sqrt{999997})^n$$ とすると $a_n$ は正整数であり，次の漸化式が成り立つ． $$a_{n+2}=1998a_{n+1}+1996a_n$$ よって次を得る． $$a_0\equiv 2,\quad a_1\equiv 8,\quad a_{n+2}\equiv 8a_{n+1}+6a_n\quad\pmod{10}$$ これを用いると $a_1$ 以降は $10$ を法として $8,6,6,4,8,8,2,4,4,6,2,2$ を繰り返すことがわかる．
また，$-1\lt 999-\sqrt{999997}\lt 0$ より，次がなりたつ $$\lfloor(999+\sqrt{999997})^n\rfloor= \begin{cases} a_n\quad (n\equiv 1\pmod2)\\ a_n-1\quad (n\equiv 0\pmod2) \end{cases}$$ 以上より $\lfloor(999+\sqrt{999997})^n\rfloor\quad(n=1,2,...)$ は $10$ を法として $8,5,6,3,8,7,2,3,4,5,2,1$ を繰り返す．よって $n$ の条件は次と同値である． $$n\equiv 2,10\pmod{12}$$ 求める総和は $$\sum_{k=0}^{7}(12k+2+12k+10)+98=\bf866.$$