ユーザー解説 by MARTH
問題文の条件は以下のように変形できる. n+4−n≤110 ⟺ n+4−n≤1100 ⟺ (n+4−n)(n+4+n)≤n+4+n100 ⟺ 400≤n+4+n \begin{aligned} \sqrt{\sqrt{n+4}-\sqrt{n}}\leq\frac{1}{10}&\iff \sqrt{n+4}-\sqrt{n}\leq\frac{1}{100}\\ &\iff (\sqrt{n+4}-\sqrt{n})(\sqrt{n+4}+\sqrt{n})\leq\frac{\sqrt{n+4}+\sqrt{n}}{100}\\ &\iff 400\leq\sqrt{n+4}+\sqrt{n}\\ \end{aligned} n+4−n≤101⟺n+4−n≤1001⟺(n+4−n)(n+4+n)≤100n+4+n⟺400≤n+4+n ここで十分大きい nnn に対し, n+4\sqrt{n+4}n+4 は n\sqrt{n}n と近い値を取るから, n+n=400 ⟺ n=40000\sqrt{n}+\sqrt{n}=400\iff n =40000n+n=400⟺n=40000 付近を電卓を用いて調べると, 400≤n+4+n400\leq\sqrt{n+4}+\sqrt{n}400≤n+4+n を満たす最小の正整数は n=39999n=\mathbf{39999}n=39999 だと分かる.