OMCB006(G) - 形式的冪級数（母関数）を用いた解法

　答えは $4a+2b+c+d+2e=100$ を満たす非負整数 $(a,b,c,d,e)$ の組の個数に等しい．よって答えは

$$\begin{aligned} & [x^{100}] \dfrac{1}{(1-x)^2(1-x^2)^2(1-x^4)} \\ &= [x^{100}] \dfrac{(1+x)^2(1+x^2)^4}{(1-x^4)^5} \\ &= [x^{100}] \dfrac{1+2x+5x^2+8x^3+10x^4+12x^5+10x^6+8x^7+5x^8+2x^9+x^{10}}{(1-x^4)^5} \\ &= 5 \times [x^{92}] \dfrac{1}{(1-x^4)^5} + 10 \times [x^{96}] \dfrac{1}{(1-x^4)^5} + [x^{100}] \dfrac{1}{(1-x^4)^5} \\ &= 5 \times \binom{27}{4} + 10 \times \binom{28}{4} + \binom{29}{4} \\ &= \mathbf{316251} \end{aligned}$$

　四行目への式変形では冪級数の形で表したとき $\dfrac{1}{(1-x^4)^5}$ が次数が $4$ の倍数の項しか持たないことを用いた．
　五行目への式変形では $\dfrac{1}{(1-x^4)^5}=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{i+4}{4}x^{4i}$ を用いた．
　（一般に $\dfrac{1}{(1-x)^n}=\sum_{i=0}^{\infty}\binom{i+n-1}{n-1}x^i$ が成り立つ．）